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已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,AD,CE都是△ABC的高,它们交于H.求证: (1)AE=EC; (2)AH=2BD.
已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,AD,CE都是△ABC的高,它们交于H.求证:
(1)AE=EC;
(2)AH=2BD.
数学
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时间:2019-08-17 14:22:19
优质解答
证明:(1)∵CE是△ABC的高,
∴∠AEC=90°,
∵∠CAB=45°,
∴∠ACE=45°=∠CAE,
∴AE=EC.
(2)∵AD,CE都是△ABC的高,
∴∠AEH=∠CEB=∠ADC=90°,
∵∠AHE=∠CHD,∠EAH+∠AEH+∠AHE=180°,∠BCE+∠CHD+∠ADC=180°,
∴∠EAH=∠BCE,
在△AEH和△CEB中,
∠AEH=∠CEB
AE=EC
∠EAH=∠ECB
,
∴△AEH≌△CEB(ASA),
∴AH=BC,
∵AB=AC,AD是△ABC的高,
∴BC=2BD,
∴AH=2BD.
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在△ABC中,∠BAC是锐角,AB=AC,AD和BE是高,它们交于点H,且AE=BE. (1)证明:AH=2BD; (2)若将∠BAC改为钝角,其余条件不变,上述的结论还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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