若自然数n+3与n+7都是质数，求n除以6的余数．

不妨将n分成六类，n=6k，n=6k+1，…，n=6k+5，然后讨论．
当n=6k时，
n+3=6k+3=3（2k+1）与n+3为质数矛盾；
当n=6k+1时，
n+3=6k+4=2（3k+2）与n+3为质数矛盾；
当n=6k+2时，
n+7=6k+9=3（2k+3）与n+7为质数矛盾；
当n=6k+3时，
n+3=6k+6=6（k+1）与n+3为质数矛盾；
当n=6k+5时，
n+7=6k+12=6（k+2）与n+7为质数矛盾．
所以只有n=6k+4，即n除以6的余数为4．
故答案为：4．