设f(x)在R上有定义,且任意阶导数都存在,若对所有n>=0都有|f^(n)(x)|

注意x=0处各阶导数都为零
取f的带Lagrange型余项的Maclaurin展开式
f(x) = 0 + 0x + 0x^2 + ... + 0x^{n-1} + f^(n){ξ} x^n / n!
于是|f(x)| oo} x^{2n} / n! = 0,所以f(x)=0貌似只能得到|f(x)| <= （ξx）^n / n!对一切n都成立吧？还有为什么这里可以取极限呢？lim_{n->oo}f(x)=0，所以有f(x)=0 ，感觉好奇怪哦~我还是觉得无论如何都只能说明f(x)趋于0 ，等于0无法严格说明首先要明确，这里x是任意的一个非零常数，不是变量|f(x)| <= |ξx|^n / n!是没错，但是中值定理里面还有|ξ|<|x|至于取极限的道理，最简单的办法是用极限的定义加反证法来看如果|f(x)|>0，取ε=|f(x)|>0，那么存在正整数N当n>N时|x^{2n} / n!| < ε = |f(x)|，矛盾