怎样证明数轴上任意一个点不是有理数就是无理数

没错,实数集是有理数集和无理数集的并,但是用这个“定义”是无法解决楼主的问题的.
实数集R的真正定义是：一切收敛的有理数数列的极限点的全体.
由此定义无理数集：不是有理数的实数叫做无理数.
所以楼主的问题是：为什么数轴上的点和实数是一一对应的?
当数轴上原点O取定以后,对于O右方的任一点M,线段OM的长度就是M的坐标x,由于线段OM的长度|OM|（不论它数否有理数）都可以用一列有理数(r n)无限逼近,即x=lim (r n),所以按定义知x是实数.由此O右方的任一点M对应了一个实数x.
同理可说明对于O左方的任一点M也对应一个实数.
反过来,给定一个实数x,如果x>0,则对应了O点右方距离为x的点M.如果x关于“线段OM的长度|OM|（不论它数否有理数）都可以用一列有理数(r n)无限逼近，即x=lim (r n)”这个r（n）大概是怎么构造的。。。这方面有什么参考资料的话更好比方说x是一个无理数，必定是无限不循环小数，取r(n)是x的第n位去尾小数，则x=lim r(n).