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已知椭圆D:x250+y225=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
已知椭圆D:
x
2
50
+
y
2
25
=1与圆M:x
2
+(y-5)
2
=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
数学
人气:772 ℃
时间:2019-08-21 11:41:22
优质解答
∵椭圆D
x
2
50
+
y
2
25
=1的两个焦点F
1
(-5,0),F
2
(5,0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.
设双曲线G的方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
∴渐近线为bx±ay=0且a
2
+b
2
=25,
∵圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3,
∴
|5a|
a
2
+b
2
=3,即
5|a|
5
=3,解得a=3,b=4,
∴G方程为
x
2
9
-
y
2
16
=1.
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