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已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点. (Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),求1/y1+1/y2的取值范围; (Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF?证明你
已知抛物线C:x
2
=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.
(Ⅰ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),求
1
y
1
+
1
y
2
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论.
数学
人气:699 ℃
时间:2020-04-22 07:32:46
优质解答
(Ⅰ)设直线l方程为y=kx+1代入x
2
=4y得x
2
-4kx-4=0
设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=4k,x
1
x
2
=-4
1
y
1
+
1
y
2
≥2
1
y
1
•
1
y
2
=2
1
x
21
4
•
1
x
22
4
=2
16
(-4)
2
=2
所以
1
y
1
+
1
y
2
的取值范围是[2,+∞).(7分)
(Ⅱ)当l平行于x轴时,要使∠AQF=∠BQF,则Q必在y轴上.
设点Q(0,b),由题意得
k
AQ
+
k
BQ
=0,设A(
x
1
,
y
1
),B(
x
2
,
y
2
),
,
∵
x
1
2
=4
y
1
,
x
2
2
=4
y
2
,∴
b=-1
∴Q(0,-1)
∵以上每步可逆,
∴存在定点Q(0,-1),使得∠AQF=∠BQF(15分)
我来回答
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