已知函数f(x)=x+1/x+alnx的图象上任意一点的切线中,斜率为2的切线有且仅有一条.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)求函数g(x)=f(x)+2x的极值.
已知函数f(x)=x+
+alnx的图象上任意一点的切线中,斜率为2的切线有且仅有一条.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求函数g(x)=f(x)+2x的极值.
数学人气:769 ℃时间:2019-12-06 12:24:28
优质解答
(Ⅰ)∵f(x)=x+
+alnx,
∴函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=1-+=.
设函数f(x)在点(x
0,y
0)处的切线的斜率为2,
则
=2,
即
-ax0+1=0.
欲使该方程在x∈(0,+∞)内有且仅有一根,
应满足
,解得a=2.
(Ⅱ)
g(x)=3x++2lnx,其定义域为(0,+∞),
g′(x)=3-+=.g'(x)>0,解得
x>;
g'(x)<0,解得
0<x<.
所以函数g(x)的单调递增区间为
(,+∞),递减区间为
(0,)所以函数有极小值
g()=4-2ln3.
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