若f（x）=- x的平方+2mx与g(x)=m/（x+1）在区间[1,2]上都是减函数,求实数M的取值范围

g(x)是一个反比例函数经平移后的函数,其对称中心是(-1,0),因此区间[1,2]是在它的一支上
∴m＞0（注1）
又f(x)=-x²+2mx=-(x-m)²+m²,是一个开口朝下的二次函数,其对称轴为x=m
∵f(x)在[1,2]上是减函数
∴m＜1（注2）
∴0＜m＜1（注2）
注：
1、该结论也可以用单调性的定义证明（任取x₁＜x₂……）,也可以用导函数的方法；
2、或者写成m≤1,具体要看你们老师怎么规定的（单调区间是否包括端点）.