设函数f(x)＝2/3x3+1/2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当x=2时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内为增函数，求a的取值范围．

f′（x）=2a²+ax+1，
（Ⅰ）由题意：f′（2）=8+2a+1=0
解得a=-

9

2

．（3分）
（Ⅱ）方程2a²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
（1）当△≤0，即-2

2

≤a≤2

2

时，2a²+ax+1≥0，
f′（x）≥0在（0．+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数；
（2）当△>0，即a<-2

2

或a>2

2

时，
要使f（x）在（0．+∞）内为增函数，只需在（0．+∞）内有2a²+ax+1≥0即可，
设g（x）=2a²+ax+1，
由

g(0)=1>0 - a 2×2 <0

得a>0，所．a>2

2

由（1）（2）可知，若f（x）在（0．+∞）内为增函数，a的取值范围是[-2

2

，+∞）．（13分）