设函数f（x）= 2x+3 3x （x＞0）,数列{an}满足a1=1,an=f( 1 an-1 )

设函数f（x）= 2x+3 3x （x＞0）,数列{an}满足a1=1,an=f( 1 an-1 )
设函数f（x）=
2x+3
3x
（x＞0）,数列{an}满足a1=1,an=f(
1
an-1
)（n∈N*,且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n-1anan+1,若Tn≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a1为首项,公比为q（0＜q＜5,q∈N*）的数列{a_n k},k∈N*,使得数列{a_n k}中每一项都是数列{an}中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式；若不存在,说明理由