已知f(x)=2ax-bx+lnx在x=-1,x=1/2处取得极值.(1)求a、b的值;(2)若对x∈[1/4,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围.
已知f(x)=2ax-
+lnx在x=-1,x=
处取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对x∈[
,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围.
数学人气:361 ℃时间:2019-09-17 16:20:15
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(1)∵f(x)=2ax-
+lnx,
∴f′(x)=2a+
+
.
∵f(x)在x=-1与x=
处取得极值,
∴f′(-1)=0,f′(
)=0,
即
解得
∴所求a、b的值分别为1、-1.
(2)由(1)得f′(x)=2-
+
=
(2x
2+x-1)=
(2x-1)(x+1).
∴当x∈[
,
]时,f′(x)<0;
当x∈[
,4]时,f′(x)>0.
∴f(
)是f(x)在[
,4]上的极小值.又∵只有一个极小值,
∴f(x)
min=f(
)=3-ln2.
∵f(x)>c恒成立,∴c<f(x)
min=3-ln2.
∴c的取值范围为c<3-ln2.
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