椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与双曲线x^2/m-y^2/n=1(m,n>0)有公共焦点F1,F2,P是它们的一个公共点

很高兴为你解答(由于打字不方便,用“/ /”表示绝对值号,“ד应为点乘,只表示那个意思了）
/PF1/+/PF2/=2a /F1F2/=2c / /PF1/-/PF2/ /=2√m
(/PF1/+/PF2/)²=4a²
(/PF1/-/PF2/)²=4m
将上式相减得 /PF1/×/PF2/=a²-m
又因为
a²-b²=c² m+n=c²
所以 /PF1/×/PF2/=n+b²
/F1F2/²=4c²=4m+4n
所以 /PF1/²+/PF2/²=(/PF1/+/PF2/)²-2/PF1/×/PF2/
=4a²-2（n+b²)
=4m+2n+2b²
所以cos∠F1PF2 =(/PF1/²+/PF2/²-/F1F2/²)除以(2/PF1/×/PF2/)
=（4m+2n+2b²-4m-4n)除以［2×（n＋b²）］
　　　　　　　　＝（-n+b²）除以（n+b²）
（2）S²＝1/4×/PF1/²/PF2/²sin² ∠F1PF2
=1/4×（n+b²)²×(1-cos²∠F1PF2)
=1/4 ×[(n+b²)²-(-n+b²)²]
=1/4×(n+b²-n+b²)(n+b²+n-b²)
=nb²
所以S=√nb²
即 f(b,n)=√nb²