在黎曼积分中如何计算和式

在黎曼积分中如何计算和式
我计算4∫(积分上限R,积分下限0)√R∧2-x∧2 dx,其实就是圆面积,我用换元积分公式和牛顿-莱布尼兹公式计算出了πR∧2,现在我想通过定积分的定义计算它,就是分割,近似,求和,取极限.
我平分区间为n个子区间,每个子区间的长度是R/n,任取一点ξ=Rsin i (i=i,2,3,...,n),f(ξ)=Rcos i(i=1,2,3,...n);
4lim(n->∞)∑(i=1,n) R/n*Rcos i
=4R∧2 lim(n->∞) 1/n ∑(i=1,n) cos i
我问其中的和式∑如何求.
如果我的式子有问题请吧完整的过程写出来,参考参考,注意用定积分的定义.