求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．

y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+2sinxcosx+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=2+sin2x+cos2x
=2+

2

sin（2x+

π

4

）．
当sin（2x+

π

4

）=-1时，y取得最小值2-

2

当且仅当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

即x=kπ-

3

8

π时取最小，
取最小值的x的集合为{x|x=kπ-

3

8

π，k∈Z}．