数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项an; (Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.
数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.
数学人气:682 ℃时间:2019-08-20 13:09:05
优质解答
(I)∵a
n+1=2S
n,
∴S
n+1-S
n=2S
n,
∴
=3.
又∵S
1=a
1=1,
∴数列{S
n}是首项为1、公比为3的等比数列,S
n=3
n-1(n∈N*).
∴当n≥2时,a
n-2S
n-1=2•3
n-2(n≥2),
∴a
n=
(II)T
n=a
1+2a
2+3a
3+…+na
n,
当n=1时,T
1=1;
当n≥2时,Tn=1+4•3
0+6•3
1+…+2n•3
n-2,①3T
n=3+4•3
1+6•3
2+…+2n•3
n-1,②
①-②得:-2Tn=-2+4+2(3
1+3
2+…+3
n-2)-2n•3
n-1=2+2•
−2n•3n−1=-1+(1-2n)•3n-1
∴Tn=
+(n-
)3
n-1(n≥2).
又∵Tn=a
1=1也满足上式,∴Tn=
+(n-
)3
n-1(n∈N*)
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