用函数单调性证明Sinx>2x/π
用函数单调性证明Sinx>2x/π
数学人气:782 ℃时间:2019-12-06 02:40:41
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证明:构造函数f(x)=πsinx-2x.(x∈(0,π/2)).求导得:f'(x)=πcosx-2.f''(x)=-πsinx.∴在(0,π/2)上,恒有f''(x)<0,∴在(0,π/2)上,导函数f'(x)在(0,π/2)上递减,又f'(0)=π-2>0,f'(π/2)=-2<0,∴存在a,0<a<π/2.f'(a)=0.且在(0,a)上,f(x)递增,在[a,π/2)上,f(x)递减.∴在(0,π/2)上,恒有f(x)>f(0)=0,且f(x)>f(π/2)=0.即在(0,π/2)上,恒有f(x)>0.===>恒有πsinx-2x>0.===>sinx>2x/π.
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