已知函数f(x)＝log21+x/1−x，（x∈（-1，1）．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明．

已知函数f(x)＝log2

1+x

1−x

，（x∈（-1，1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明．

数学人气：909 ℃时间：2019-08-18 06:30:54

优质解答

（1）f(−x)＝log2

1+(−x)

1−(−x)

＝log2

1−x

1+x

＝log2(

1+x

1−x

)−1＝−log2

1+x

1−x

＝−f(x)
又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
（2）设-1＜x＜1，△x=x₂-x₁＞0，△y＝f(x2)−f(x1)＝log2

1+x2

1−x2

−log2

1+x1

1−x1

＝log2

(1−x1)(1+x2)

(1+x1)(1−x2)

因为1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0所以

(1−x1)(1+x2)

(1+x1)(1−x2)

＞1
所以△y＝log2

(1−x1)(1+x2)

(1+x1)(1−x2)

＞0所以函数f(x)＝log2

1+x

1−x

在（-1，1）上是增函数．

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