设M是由满足下列条件的函数f（x）（x∈R）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1． （Ⅰ）判断函数f（x）=x/2+cos/8-1/8是否是集合M中的元素，
设M是由满足下列条件的函数f（x）（x∈R）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判断函数f（x）=
+
-
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是集合M中的一个元素，x
0是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于定义域中的任意两个实数x
1，x
2，当|x
0-x
1|＜1且|x
2-x
0|＜1时，不等式|f（x
2）-f（x
1）|＜2成立．
数学人气：206 ℃时间：2019-08-17 15:45:33
优质解答
（I）因为f′（x）=
-
，所以f′（x）∈[
，
]，满足条件0＜f′（x）＜1，
又因为当x=0时，f（
）-
＞0，f（π）-π＜0，
所以方程f（x）-x=0有实数根．
所以函数f（x）=
+
-
是集合M中的元素．
（II）不妨设x
1＜x
2，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x
1）＜f（x
2），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x
1）-x
1＞f（x
2）-x
2，
所以0＜f（x
2）-f（x
1）＜x
2-x
1，
即|f（x
2）-f（x
1）|＜|x
2-x
1|，
所以|f（x
2）-f（x
1）|＜|x
2-x
1|=|x
2-x
0-（x
1-x
0）|≤|x
2-x
0|+|x
1-x
0|＜2．
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