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已知函数f(x)=xlnx+1. (1)求函数f(x)的极值点; (2)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的斜率.
已知函数f(x)=xlnx+1.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的斜率.
数学
人气:114 ℃
时间:2020-01-27 22:57:31
优质解答
(1)求导函数,可得f′(x)=lnx+1,x>0.…(2分)
由f′(x)=lnx+1>0,可得x>
1
e
;f′(x)=lnx+1<0,可得0<x<
1
e
,
所以f(x)在(0,
1
e
)上单调递减,在(
1
e
,+∞)上单调递增.…(4分)
所以x=
1
e
是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.…(6分)
(2)设切点坐标为(a,b),
则b=alna+1,切线的斜率为lna+1,
又切线l过点(0,-1),所以
b+1
a
=lna+1
…(9分)
所以b+1=a(lna+1),
所以alna+1+1=a(lna+1),所以a=2,
所以直线l的斜率为1+ln2…(12分)
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