设n阶方阵A的每一行只有一个元素是1其余元素是0；而且每一列的元素之和是1.证明：存在自然数m>0,使得A^m=E

啊,这个其实是比较显然的.每一行、每一列只有1个1,其它都是0的矩阵叫：permutation matrix,中文叫：置换矩阵.每一个置换矩阵表示了一个置换变换.置换可以分解为轮换,设n阶矩阵分解为k个轮换,每个轮换里分别有：m1、m...m=2 不行，比如矩阵：A =
0 1 0
0 0 1
1 0 0
则：A^2 =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
而：A^3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

你可能跟置换矩阵的另一个性质混了：A^T A = E，其中 A^T 代表 A 的转置。

BTW：你说不是很明白，你学过置换、轮换那套东西吗？

没有更简单的方法了。

置换和轮换是最简单，也是最自然的（我开头都说了几乎是显然的了）。

就学一下吧，反证也不难，见下图（点击可放大）：

下面接着说轮换：

接着还有一张图：

就是这样了，挺简单的。