∵f(-x)=(-x)2ln|-x|=x2ln|x|=f(x),∴函数f(x)为偶函数.
(2)当x>0时,f(x)=x2lnx.
∴f′(x)=2xlnx+x2×
1 |
x |
1 |
2 |
令f′(x)=0,解得x=e−
1 |
2 |
若0<x<e−
1 |
2 |
若x>e−
1 |
2 |
再由函数f(x)是偶函数,当x<0时的单调性如下:
函数f(x)的单调递增区间是(−e−
1 |
2 |
1 |
2 |
综上可知:函数f(x)的单调递增区间是(−e−
1 |
2 |
1 |
2 |
单调递减区间是(0,e−
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)由f(x)=kx-1,得xln|x|+
1 |
x |
令g(x)=xln|x|+
1 |
x |
当x>0时,g′(x)=lnx+1−
1 |
x2 |
x2−1 |
x2 |
当0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;
当x>1时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
∴当x>0时,g(x)min=g(1)=1.
因此关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解的k的取值范围是[1,+∞).