设BD :DC = CE :EA = AF :FB = γ
根据矢量加法有 矢量BD + 矢量CE + 矢量AF = (γ/(1 + γ)) (矢量BC + 矢量CA + 矢量AB) = (γ/(1 + γ)) * 0 = 0
设 O 为△ABC的重心,有 矢量OA + 矢量OB + 矢量OC = 0
而 矢量OD = 矢量OB + 矢量BD
矢量OE = 矢量OC + 矢量CE
矢量OF = 矢量OA + 矢量AF
所以
矢量OD + 矢量OE + 矢量OF
= (矢量OB + 矢量BD) + (矢量OC + 矢量CE) + (矢量OA + 矢量AF)
= (矢量OA + 矢量OB + 矢量OC)+ (矢量BD + 矢量CE + 矢量AF)
= 0 + 0 = 0
故 O也是△DEF的重心.问题得证.
注:这里用到一个定理:
O是三角形的重心的充要条件是矢量OA+矢量OB+矢量OC=0
请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合
请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合
数学人气:613 ℃时间:2020-01-29 03:05:48
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