毕达哥拉斯在数学上的成就

最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派.他们很重视数学,企图用数来解释一切.宣称数是宇宙万物的本原,研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘.他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数.这在今天看来很平常的事,但在当时的哲学和实用数学界,这算是一个巨大的进步.在实用数学方面,它使得算术成为可能.在哲学方面,这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础.
毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世.这定理早已为巴比伦人和中国人所知,不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯.他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和,即毕达哥拉斯定理(勾股定理).
毕达哥拉斯对数论作了许多研究,将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等.在毕达哥拉斯派看来,数为宇宙提供了一个概念模型,数量和形状决定一切自然物体的形式,数不但有量的多寡,而且也具有几何形状.在这个意义上,他们把数理解为自然物体的形式和形象,是一切事物的总根源.因为有了数,才有几何学上的点,有了点才有线面和立体,有了立体才有火、气、水、土这四种元素,从而构成万物,所以数在物之先.自然界的一切现象和规律都是由数决定的,都必须服从“数的和谐”,即服从数的关系.
毕达哥拉斯还通过说明数和物理现象间的联系,来进一步证明自己的理论.他曾证明用三条弦发出某一个乐音,以及它的第五度音和第八度音时,这三条弦的长度之比为6:4:3.他从球形是最完美几何体的观点出发,认为大地是球形的,提出了太阳、月亮和行星作均匀圆运动的思想.他还认为十是最完美的数,所以天上运动的发光体必然有十个.
他还有一套这样的理论：地球沿着一个球面围绕着空间一个固定点处的“中央火”转动,另一侧有一个“对地星”与之平衡.这个“中央火”是宇宙的祭坛,是人永远也看不见的.这十个天体到中央火之间的距离,同音节之间的音程具有同样的比例关系,以保证星球的和谐,从而奏出天体的音乐.
他同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原,认为“万物皆数”,“数是万物的本质”,是“存在由之构成的原则”,而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系.毕达哥拉斯将数神秘化,说数是众神之母,是普遍的始原,是自然界中对立性和否定性的原则.