抛物线的焦点弦与抛物线交于AB两点,过此两点作抛物线切线,切线交于c点,如何证明C点在抛物线的准线上.
抛物线的焦点弦与抛物线交于AB两点,过此两点作抛物线切线,切线交于c点,如何证明C点在抛物线的准线上.
数学人气:203 ℃时间:2019-11-08 07:30:53
优质解答
证明:我们不防设抛物线的方程为x^2=2py,那么其准线方程为y=-p/2,焦点F(0,p/2),设A(x1,y1),B(x2,y2),过焦点可设AB(斜率存在)直线方程为y=kx+p/2,联立x^2=2py消去y整理得x^2-2kpx-p^2=0,可得x1x2=-p^2(定值)易知抛物线上任意一点的斜率(求导)为2py'=2x,得K=y'=x/p,易得分别过A,B的切线方程为y=(x1/p)(x-x1)+y1.(1),y=(x2/p)(x-x2)+y2.(2),其中y1=(x1^2)/(2p).(3),y2=(x2^2)/(2p).(4).将(3)、(4)代入(1)、(2).两式相减消去y得两切线交点横坐标xc=(x1+x2)/2.再用(1)*x2-(2)*x1,消去x解得两切线交点纵坐标yc=x1x2/(2p)=-p^2/(2p)=-p/2(定值)即c点在准线y=-p/2,从而命题得证.
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