已知两个反比例函数y=k/x(k>0)和y=6/x在第一象限内的图象如图所示,点P是y=6/x图象上任意一点,过点P作PC⊥x轴,PD⊥y轴,垂足分别为C,D.PC、PD分别交y=k/x的图象于点A,B. (1)求证:△
已知两个反比例函数y=
(k>0)和y=
在第一象限内的图象如图所示,点P是y=
图象上任意一点,过点P作PC⊥x轴,PD⊥y轴,垂足分别为C,D.PC、PD分别交y=
的图象于点A,B.
(1)求证:△ODB与△OCA的面积相等;
(2)记S=S
△OAB-S
△PAB,当k变化时,求S的最大值,并求当S取最大值时△OAB的面积.
数学人气:189 ℃时间:2019-08-26 07:00:19
优质解答
(1)∵点AB均是反比例函数y=
(k>0)上的点,PC⊥x轴,PD⊥y轴,
∴S
△ODB=S
△OCA=
,即△ODB与△OCA的面积相等;
(2)设P(x,
),则A(x,
),B(k,
),
∵点P在反比例函数y=
的图象上,
∴S
矩形PDOC=6,
∵S
△ODB=S
△OCA=
,
∴S
四边形PBOA=S
矩形PDOC-(S
△ODB+S
△OCA)=6-k,
∴S=S
△OAB-S
△PAB=S
△四边形PBOA-2S
△PAB=6-k-2×
(
-
)(x-
)=k-
,
∴当k=
时S有最大值,S
最大=
-
=
;
当k=
时,S
△PAB=
(
-
)(x-
)=
,
∴S
△OAB=S+S
△PAB=
+
=
.
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