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正四棱锥P-ABCD的底面边长是2,侧棱长是6,且它的五个顶点都在同一个球面上,则此球的半径是 _ .
正四棱锥P-ABCD的底面边长是2,侧棱长是
6
,且它的五个顶点都在同一个球面上,则此球的半径是 ___ .
数学
人气:815 ℃
时间:2019-10-14 04:08:10
优质解答
如图所示,设球半径为R,底面中心为O'且球心为O,
∵正四棱锥P-ABCD中AB=2,PA=
6
,
∴AO'=
2
2
AB=
2
,可得PO'=
P
A
2
-AO
′
2
=2,OO'=PO'-PO=2-R.
∵在Rt△AOO'中,AO
2
=AO'
2
+OO'
2
,
∴R
2
=(
2
)
2
+(2-R)
2
,解之得R=
3
2
,
因此可得外接球的体积V=
4
3
πR
3
=
4
3
π•
(
3
2
)
3
=
9
2
π.
故答案为:
9
2
π.
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