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微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=-1/9的解为 _ .
微分方程xy′+2y=xlnx满足
y(1)=-
1
9
的解为 ___ .
数学
人气:543 ℃
时间:2019-11-17 01:25:21
优质解答
因为一阶线性微分方程 y′+P(x)y=Q(x)的通解公式为
y=e
-∫P(x)dx
(∫Q(x)e
∫P(x)dx
dx+C),
且原方程等价为
y′+
2
x
y=lnx
,
所以原方程的通解为
y=
e
-∫
2
x
dx
(∫lnx
e
∫
2
x
dx
+C)
=
1
x
2
(∫x
2
lnxdx+C)
=
1
x
2
(
1
3
x
3
lnx-
1
3
∫
x
3
(lnx)′dx+C)
=
1
x
2
(
1
3
x
3
lnx-
1
3
∫
x
2
dx+C)
=
1
3
xlnx
-
1
9
x
+
C
x
2
.
由
y(1) = -
1
9
得,C=0
故所求解为y=
1
3
xlnx
-
1
9
x
.
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