如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DBA=30°,∠DAB=60°,AD=1,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角P-AB-D余弦值.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DBA=30°,∠DAB=60°,AD=1,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角P-AB-D余弦值.
数学人气:480 ℃时间:2019-08-18 11:53:25
优质解答
(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵∠DBA=30°,∠DAB=60°,
∴∠ADB=90°,∴BD⊥AD,
又PD⊥底面ABCD,∴BD⊥PD,
∴BD⊥面PAD,∴PA⊥BD.
(Ⅱ)过D作DO⊥AB交AB于O,连接PO,
∵PD⊥底面ABCD,
∴∠POD为二面角P-AB-D的平面角.
在Rt△ABD中,∵AD=1,∠ABD=30°,
∴
AB=2,BD=,∴
DO=,
而PD=AD=1,在Rt△PDO中,
PD=1,DO=,
∴
PO=,
∴
cos∠POD==.
∴二面角P-AB-D余弦值为
.
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