原题:
已知a是实数,函数f(x)=2ax^2+2x-3-a.如果函数y=f(x) 在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
答案要详细点
即求方程2ax^2+2x-3-a=0在区间[-1,1]上有解时,a的取值范围.
(1)a=0时,y是一次函数,此时y=2x-3,使y为0的x=3/2,不在[-1,1]上,所以在[-1,1]上没有零点,故a≠0.
(2)a≠0,f(x)=2ax^2+2x-3-a是个二次函数,函数f(x)的零点就是方程f(x)的实数根,也是函数f(x)的图像与x轴的交点.
一:图像在[-1,1]有一个交点,这个交点不是抛物线的顶点.此时有f(-1)*f(1)=(a-1)*(a-5)≤0,即1≤a≤5
二:图像在[-1,1]有一个交点,这个交点恰是抛物线的顶点.这时就要让函数△=0,再把令△=0的两根求出看看是否在区间[-1,1]中,如果在就保留,不在就舍去,解得a1=(-3-√7)/2 a2=(-3+√7)/2,当a=(-3-√7)/2时,由f(x)=0得x=(3-√7)/2∈[-1,1],所以此时也有零点
三:图像在[-1,1]有两个交点,此时分a>0和a<0两种情况讨论.函数在[-1,1]上有两个零点的充要条件是什么或者说是函数在[-1,1]上有两个零点等价于什么,我们把文字语言转化为数学语言就是
a>0
△=8a^2+24a+4>0
-1<(-1)/2a<1
f(1)≥0
f(-1)≥0
a<0
△=8a^2+24a+4>0
-1<(-1)/2a<1
f(1)≥0
f(-1)≥0
解得a≥5或a<(-3-√7)/2
再综合前面所有对a的讨论得出a的取值范围是a≥1或者a≤(-3-√7)/2
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