已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(2-1),求椭圆方程.
已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(
-1),求椭圆方程.
数学人气:710 ℃时间:2019-08-21 18:52:54
优质解答
∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,
∴设椭圆的方程为
+=1(a>b>0),
设短轴的两个端点分别为A、B,左右焦点分别为F
1、F
2,连结AF
2、BF
2.
∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,
∴AF
2⊥BF
2,
根据椭圆的对称性得到△ABF
2是等腰直角三角形,可得|OA|=|0F
2|.
∴b=c,即
=c…①,
又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4(
-1),
∴a-c=4(
-1)…②,
联解①②可得a=4
,c=4,可得a
2=32,b
2=c
2=16
所求椭圆的方程为
+=1.
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