已知函数f(x)=x+3ax+(3-6a)x+12a-4(a∈ R)
已知函数f(x)=x+3ax+(3-6a)x+12a-4(a∈ R)
1.证明曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2) 2 若f(x)在x=xο处取得极小值 ,xο∈ (1,3) ,求a的取值范围
1.证明曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2) 2 若f(x)在x=xο处取得极小值 ,xο∈ (1,3) ,求a的取值范围
数学人气:969 ℃时间:2019-10-23 02:29:55
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首先,对Y=X^3+3AX^2+(3-6A)X+12A-4求导 Y‘=3X^2+6AX+3-6A 当X=0时,得到在X=0处的切线斜率为3-6A 因为Y=X^3+3AX^2+(3-6A)X+12A-4,所以切点即为(0,12A-4) 写出切线的表达式:y=(3-6A)x+12A-4 把点(2,2)代入切线,满足两边相等 所以切线过点(2,2)由f′(x)=0得 x 2 +2ax+1-2a=0…(1) 方程(1)的根的判别式 △=4a2-4(1-2a)=4(a+1+ 2 ) (a+1- 2 ) ①当- 2 -1≤a≤ 2 -1时,函数f(x)没有极小值 ②当a<- 2 -1或a> 2 -1时,由f′(x)=0得x1=-a- a2+2a-1 ,x2=-a+ a2+2a-1 故x 0 =x 2 ,由题设可知1<-a+ a2+2a-1 <3 (i)当a> 2 -1时,不等式1<-a+ a2+2a-1 <3没有实数解; (ii)当a<- 2 -1时,不等式1<-a+ a2+2a-1 <3 化为-a+1< a2+2a-1 <3-a,解得- 5 2 <a< - 2 -1 综合①②,得a的取值范围是(- 5 2 ,- 2 -1)
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