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已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A、B两点,|AB|=23,求抛物线方程.
已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x
2
+y
2
=4相交于A、B两点,|AB|=2
3
,求抛物线方程.
数学
人气:458 ℃
时间:2019-10-29 06:22:33
优质解答
由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为:y
2
=ax(a≠0). (2分)
设抛物线与圆x
2
+y
2
=4的交点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
∵抛物线y
2
=ax(a≠0)与圆x
2
+y
2
=4都关于x轴对称,
∴点A与B关于x轴对称,
∴|y
1
|=|y
2
|且|y
1
|+|y
2
|=2
3
,(6分)
∴|y
1
|=|y
2
|=
3
,代入圆x
2
+y
2
=4得x
2
+3=4,
∴x=±1,(8分)
∴A(±1,
3
)或A(±1,-
3
),代入抛物线方程,得:(
3
)
2
=±a,∴a=±3.(10分)
∴所求抛物线方程是:y
2
=3x或y
2
=-3x.(12分)
注:少一种情况扣(4分).也可分类讨论.
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