要证a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
即证2(a^2+b^2+c^2)+3abc≥9
即证2[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]+3abc≥9(注意到(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca))
即证9-4(ab+bc+ca)+3abc≥0(注意到a+b+c=3)
即证9-4ab-4c(a+b)+3abc≥0
即证9-4ab-4c(3-c)+3abc≥0(注意到a+b=3-c)
即证(4-3c)ab≤4c^2-12c+9
即证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
若4-3c0
显然上式恒成立
若4-3c≥0
因ab≤(a+b)^2/4(基本不等式)
即ab≤(3-c)^2/4(注意到a+b=3-c)
则(4-3c)ab≤(4-3c)(3-c)^2/4
于是要证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
即证(4-3c)(3-c)^2/4≤(2c-3)^2
即证c^3-2c^2+c≥0
即证c(c-1)^2≥0(注意到c>0)
即证(c-1)^2≥0
显然(c-1)^2≥0恒成立
综上知a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3
其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3
其他人气:449 ℃时间:2020-03-22 10:18:11
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