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如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF
2
=BE
2
+CF
2
.
数学
人气:115 ℃
时间:2020-02-04 08:17:54
优质解答
证明:延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:
在△EDF和△GDF中
DF=DF
∠EDF=∠FDG=90°
DG=DE
,
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
BD=DC
∠BDE=∠CDG
,
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得:
FG
2
=CF
2
+CG
2
=CF
2
+BE
2
∴EF
2
=FG
2
=BE
2
+CF
2
.
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