已知双曲线C的渐近线方程为y=±3x,右焦点F(c,0)到渐近线的距离为3. (1)求双曲线C的方程; (2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点,线段AB的中垂线交x轴于D,求证:|AB||FD|为
已知双曲线C的渐近线方程为
y=±x,右焦点F(c,0)到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点,线段AB的中垂线交x轴于D,求证:
为定值.
数学人气:671 ℃时间:2019-10-17 07:28:25
优质解答
(1)设双曲线方程为3x
2-y
2=λ(λ>0)…(2分)
由题知c=2,∴
+λ=4,∴λ=3…(4分)
∴双曲线方程为:
x2−=1…(5分)
(2)设直线l的方程为y=k(x-2)代入
x2−=1整理得(3-k
2)x
2+4k
2x-4k
2-3=0…(6分)
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),AB的中点P(x
0,y
0)
则
x0=−,代入l得:
y0=…(7分)
|AB|=|x1−x2|=…=…(8分)
AB的垂直平分线方程为
y=−(x+)−…(9分)
令y=0得
xD=…(10分)
∴
|FD|=|−2|=||=…(11分)
∴
=1为定值.…(12分)
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