O为平面中任意一点,若A,B,C三点共线,证明：存在一组有序数对（X,Y)使得向量OA=x向量OB+y向量OC,且x+y=1

显然有：向量AB＝向量OB－向量OA、向量BC＝向量OC－向量OB.
∵A、B、C共线,∴向量AB＝k向量BC,其中k为非零实数.
∴向量OB－向量OA＝k（向量OC－向量OB）,
∴向量OA＝向量OB－k向量OC＋k向量OB＝（1＋k）向量OB－k向量OC.
令y＝－k,x＝1＋k,得：x＋y＝1.
∴向量OA＝x向量OB＋y向量OC,且x＋y＝1.