方法一:用到一个结论:平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和(坐标法,向量法,余弦定理均可证明)
把平行四边形切去一半,剩下三角形和中线,由上面的结论可得,|AP|^2+|BP|^2=(4PO^2+AB^2)/2,其中o为坐标原点.故,要想所求平方和最小,只需PO最小(AB=2为已知)
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.
PO的最小值=|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=(36+4)/2=20
方法二:设P点坐标为(x,y),则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2
要想上式最小,只需PO最小,显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.
PO的最小值=|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20
已知点A(-1,0)B(1,0)及圆C(x-3)∧2+(Y-4)∧2=4上的一点P,求AP∧2+BP∧2的最小值及取到最小值时点P的坐标
已知点A(-1,0)B(1,0)及圆C(x-3)∧2+(Y-4)∧2=4上的一点P,求AP∧2+BP∧2的最小值及取到最小值时点P的坐标
数学人气:568 ℃时间:2020-04-12 11:14:28
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