做简谐运动的弹簧振子半个周期内弹力做功为零,如果是在竖直平面做的简谐运动.

这个命题是正确的.
可以考虑一般的半个周期：从某一位置a到平衡位置,再到-a,接着到达最远点返回,再到-a.
可以把这一过程分成两部分：
一、从a到-a,a到平衡位置和平衡位置到-a,这两个小的过程位移是一样的,力也是对应大小相同,方向相反,所以弹力做的功是0.
二、从-a到最远,再从最远到-a,这两个小过程,位移是相反的,力是对应相等的,所以弹力的功也是0.
所以：由以上可知,做简谐运动的弹簧振子半个周期内弹力做功为零.