∴f′（x）=f″（x）=fn（x）=ex
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fn（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|ex|≤er（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数ex在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是ex＝1+x+
| x2 |
| 2! |
| x3 |
| 3! |
| xn |
| n! |
将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）
将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）
数学人气：209 ℃时间：2020-02-20 22:38:26
优质解答
∵f（x）=ex，
∴f′（x）=f″（x）=fn（x）=ex
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fn（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|ex|≤er（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数ex在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是ex＝1+x+
+
+…+
．
∴f′（x）=f″（x）=fn（x）=ex
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fn（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|ex|≤er（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数ex在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是ex＝1+x+
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