已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1/2,Sn=n2an−n(n−1),n=1,2,… (1)证明:数列{n+1/nSn}是等差数列,并求Sn; (2)设bn=Snn3,求证:b1+b2+…+bn<1.
已知数列{a
n}的前n项和为S
n,
a1=,Sn=n2an−n(n−1),n=1,2,…(1)证明:数列
{Sn}是等差数列,并求S
n;
(2)设
bn=,求证:b
1+b
2+…+b
n<1.
数学人气:786 ℃时间:2019-10-11 09:57:17
优质解答
证明:(1)由
Sn=n2an−n(n−1)知,
当n≥2时:
Sn=n2(Sn−Sn−1)−n(n−1),…(1分)
即
(n2−1)Sn−n2Sn−1=n(n−1),
∴
Sn−Sn−1=1,对n≥2成立. …(3分)
又
S1=1∴{
Sn}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴
Sn=1+(n−1)•1…(5分)
∴
Sn=…(6分)
(2)
bn===−…(8分)
∴
b1+b2+…+bn=1−+−+…−=
1−<1…(12分)
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