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已知函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是_.
已知函数f(x)=(ax
2
+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是______.
数学
人气:843 ℃
时间:2019-10-10 04:30:08
优质解答
求导函数可得:f′(x)=2ax-lnx
∵函数f(x)=(ax
2
+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)=2ax-lnx≥0在[1,+∞)上恒成立
∴2a≥
lnx
x
令g(x)=
lnx
x
(x>0),则
g′(x)=
1−lnx
x
2
令g′(x)>0,可得0<x<e;令g′(x)<0,可得x>e;
∴函数在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减
∴x=e时,函数取得最大值
1
e
∴2a≥
1
e
∴
a≥
1
2e
故答案为:
[
1
2e
,+∞)
.
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