函数f（x）=ax2+x-1+3a（a∈R）在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围．

当a=0时，f（x）=x-1，令f（x）=0，得x=1，是区间[-1，1]上的零点．
当a≠0时，函数f（x）在区间[-1，1]上有零点分为三种情况：
①方程f（x）=0在区间[-1，1]上有重根，
令△=1-4a（-1+3a）=0，解得a＝−

1

6

或a＝

1

2

．
当a＝−

1

6

时，令f（x）=0，得x=3，不是区间[-1，1]上的零点．
当a＝

1

2

时，令f（x）=0，得x=-1，是区间[-1，1]上的零点．
②若函数y=f（x）在区间[-1，1]上只有一个零点，但不是f（x）=0的重根，
令f（1）f（-1）=4a（4a-2）≤0，解得0＜a≤

1

2

．
③若函数y=f（x）在区间[-1，1]上有两个零点，
则

a＞0 △＝−12a2+4a+1＞0 −1＜− 1 2a ＜1 f(1)≥0 f(−1)≥0.

或

a＜0 △＝−12a2+4a+1＞0 −1＜− 1 2a ＜1 f(1)≤0 f(−1)≤0.

解得a∈∅．
综上可知，实数a的取值范围为[0，

1

2

]．