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已知对于任意非零实数a和b,不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,试求实数x的取值范围.
已知对于任意非零实数a和b,不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,试求实数x的取值范围.
数学
人气:188 ℃
时间:2019-08-20 23:46:08
优质解答
由题知,
|2+x|+|2−x|≤
|2a+b|+|2a−b|
|a|
恒成立,
故|2+x|+|2-x|不大于
|2a+b|+|2a−b|
|a|
的最小值(4分)
∵|2a+b|+||2a-b≥|2a+b+2a-b|=4|a|,
当且仅当(2a+b)(2a-b)≥0时取等号,∴
|2a+b|+|2a−b|
|a|
的最小值等于4.(8分)
∴x的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解.
解不等式得-2≤x≤2.(10分)
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