如果以抛物线y2=4x过焦点的弦为直径的圆截y轴所得的弦长为4,那么该圆的方程是_.
如果以抛物线y2=4x过焦点的弦为直径的圆截y轴所得的弦长为4,那么该圆的方程是______.
数学人气:395 ℃时间:2019-10-19 01:34:31
优质解答
设过焦点的直线与抛物线交点A、B坐标分别为(x
1,y
1),(x
2,y
2),圆心C即AB的中点(x
0,y
0),
由抛物线定义得,|AB|=x
1+x
2+p=x
1+x
2+2=2x
0+2,∴r=x
0+1,
∵圆截y轴所得的弦长为4
∴由勾股定理得,r
2=4+x
02,即
解得
x0=,
∴
r=,
设过焦点的直线方程为x=ay+1,则
,
消去x得y
2-4ay-4=0,∴y
1+y
2=4a,即y
0=2a
消去y得x
2-(2+4a
2)x+1=0,∴x
1+x
2=2+4a
2,即
x0=1+2a2=,解得a=±
,
∴y
0=2a=±1,所以该圆的方程是(x-
)
2+(y±1)
2=
,
故答案是(x-
)
2+(y±1)
2=
.
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