设a∈R，函数 f （x）=x2+2a|x-1|，x∈R． （1）讨论函数f （x）的奇偶性； （2）求函数f （x）的最小值．

∵f （x）=x²+2 a|x-1|，x∈R．
（1）当a=0时，f （x）=x²，函数是偶函数；当a≠0时函数非奇非偶函数．…（2分）
因为f（1）=1，f（-1）=1+4a≠f（1），即a≠0时函数不是偶函数；…（3分）
当a≠-

1

2

时f（-1）=1+4a≠-f（1），函数不是奇函数；当a=-

1

2

时，
f（x）=x²-|x-1|，f（2）=3，f（-2）=1，f（-2）≠-f（2），所以函数不是奇函数．…（5分）
综上，当a=0时，f （x）=x²，函数是偶函数；当a≠0时函数非奇非偶函数．
（2）f （x）=

x2+2ax-2a x2-2ax+2a

=

(x+a)2-a2-2a，x≥1 (x-a)2-a2 +2a，x<1

…（7分）
1° a≥1时，x≥1时，f （x）≥x²≥1=f （1）⇒f （x）_min=1…（8分）
x<1时，对称轴 x=a>1⇒f （x） 在 （-∞，1）上为减函数⇒f （x）>f （1）=1
综上，a≥1时，f （x）_min=1…（10分）
2° a<1时，若 x<1，f （x）_min=f （a）=-a²+2a=2a-a²…（11分）
而 x≥1时，f （x）_min≥-a²-2a>-a²>2a-a²…（12分）
∴a<1时，f （x）_min=2a-a²
∴f （x）_min=

1，a≥0 2a-a2，a<0

…（13分）．