若M.N分别在反比例函数图像的两支上,请指出什么情况下线段MN最短并求出线段MN长度的取值范围

当M,N两点关于原点中心对称,且M到原点距离最小是,MN取最小值；
当M,N两点分别趋向于无穷大和无穷小时,其长度最大,同样为无穷大+∞
设点M(x,y),最小值MN=2OM=2√(x^2+y^2)
=2√(x^2+(k/x)^2)
≥2√2*x*k/x=2√2k(k也带根号)
当且仅当x=k/x,即x=±√k时成立
即MN长度取值范围（2√2k,+∞）