条件不足,应限制为:a、b、c都是正数.
证明如下:
1、如果a>b,那么:a-b>0,且(a/b)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)>1.
2、如果a=b,那么:a-b=0,且(a/b)=1,
∴此时(a/b)^(a-b)=1.
3、如果a<b,那么:b-a>0,且(b/a)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)=[(b/a)^(-1)]^[-(b-a)]=(b/a)^(b-a)>1.
∴无论a、b的大小如何,都有:(a/b)^(a-b)≥1,∴[(a/b)^a]/[(a/b)^b]≥1,
∴(a/b)^a≥(a/b)^b,∴a^a/b^a≥a^b/b^b,∴a^a×b^b≥a^b×b^a.
同理,有:a^a×c^c≥a^c×c^a, c^c×b^b≥c^b×b^c.
∴(a^a×b^b)(a^a×c^c)(c^c×b^b)≥(a^b×b^a)(a^c×c^a)(c^b×b^c),
∴(a^a×b^b×c^c)^2≥a^(b+c)×b^(a+c)×c^(a+b),
∴(a^a×b^b×c^c)^3≥a^(a+b+c)×b^(a+b+c)×c^(a+b+c)=(abc)^(a+b+c)
∴a^a×b^b×c^c≥√[(abc)^(a+b+c)]=(abc)^[(a+b+c)/3].
即:a^a×b^b×c^c≥(abc)^[(a+b+c)/3].
a的a次方b的b次方c的c次方大于等于abc的三分之a加b加c次方,如何证明?
a的a次方b的b次方c的c次方大于等于abc的三分之a加b加c次方,如何证明?
数学人气:123 ℃时间:2019-08-19 15:57:17
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